un piano en la cabeza (música y matemáticas II)

Herman Von Helmholzt. Fuente

De vez en cuando se pone de moda hablar de la biografía de algún científico al que muchos elevan a la cumbre de la genialidad llegando a convertirlo en un icono de la cultura popular. Es lo que ha ocurrido en diferentes épocas con personas como Leonardo da Vinci, Newton, Edison, Einstein o, últimamente, Nikola Tesla. No sorprende que personas tan brillantes despierten admiración, lo que sí resulta sorprendente es que mientras que la vida de unos se repite en infinidad de publicaciones y documentales, otras personas no menos admirables pasan completamente desapercibidas para el gran público durante años y años (de hecho esto es lo que ocurrió con Tesla hasta hace poco). Hoy voy a desempolvar la figura de uno de estos genios, y lo voy a hacer a cuento de un tema que dejé pendiente de ampliar en una entrada anterior de la serie música y matemáticas. En ese post anuncié que próximamente explicaría el fundamento físico de nuestra capacidad para detectar intervalos musicales de forma innata y semiinconsciente. Mucho de lo que se sabe al respecto se lo debemos a nuestro genio del día: Hermann Ludwig Ferdinand Von Helmholz (1821-1894), un gran fisiólogo, psicólogo, físico e inventor prusiano, al que su amor por la música y su empeño por entender los fundamentos del gusto musical le llevaron a hacer grandes descubrimientos sobre la naturaleza del sonido y la fisiología del oído humano. Además, para llegar más allá en sus investigaciones, Helmholz tuvo que inventar algunos aparatos sorprendentes. Por ejemplo allá por 1860 creó nada más y nada menos que el primer sintetizador de sonido de la historia.

Vista en planta de las cuerdas de un piano.
La disposición es muy similar a la de las
estrías transversales en la membrana basilar. Fuente

De haber existido en su época el premio Nobel, a  Herman Helmholz se lo podrían haber concedido por cuatro o cinco motivos diferentes, incluyendo  sus aportaciones sorprendentes en fisiología de la vista, del oído, de la transmisión nerviosa y del metabolismo muscular, y en física acústica y electromagnética. A Helmholtz se le reconoce un legado científico admirable: Defendió la universalidad del principio de conservación de la energía, y su aplicabilidad a cualquier forma de energía; esta teoría la desarrolló a partir de observaciones del metabolismo muscular. Helmholtz también fue la primera persona en demostrar que las órdenes dadas a un músculo no se ejecutan de forma inmediata, sino que sufren una demora debida a la transmisión nerviosa, que él midió con una precisión sorprendente. A Helmholz se le considera además uno de los padres de la teoría de la muerte térmica del Universo. En fisiología y psicología de la percepción también dejó un legado formidable: en el campo de la percepción visual propuso la teoría de la percepción tricromática de los colores (que tanto influiría en los pintores impresionistas); además para poder observar el interior del globo ocular, inventó el oftalmoscopio que hoy siguen utilizando los oculistas sin apenas cambios. Helmholz también propuso una ingeniosa teoría sobre la estructura fisiológica del oído que solo a un pianista se le hubiera podido ocurrir. Él estaba convencido de que el oído humano era esencialmente una herramienta natural para medir sonidos. Una herramienta que continuamente, y con especial destreza, utilizan en su trabajo los músicos, los fabricantes de instrumentos o los compositores. Helmholtz pensaba que el piano debía ser una réplica de ese aparato medidor de ondas que tenemos en nuestra cabeza, y por eso lo tomó como un modelo fisiológico, y, casi literalmente, buscó un piano dentro de nuestra cabeza. Y el caso es que lo encontró: en la cóclea de nuestro oído interno, o más en concreto en la membrana basilar que, desenrollada y extendida, muestra una serie de fibras, con la misma disposición que las cuerdas de un piano, cada una de las cuales resuena con una frecuencia específica. A partir de estos descubrimientos, Helmholtz elaboró un modelo descriptivo de la naturaleza y el comportamiento de las ondas sonoras que, junto a sus investigaciones sobre el electromagnetismo, allanó el terreno para la revolución de la Física de finales del siglo XIX y principios del XX; no en vano, entre sus discípulos más ilustres se encuentran Rudolf Hertz y Max Planck. Para poner la guinda, Helmholtz también fue el maestro de Wilhelm Wundt, a quien, junto a William James, se le considera el padre de la psicología moderna. A Wundt le influyó especialmente su defensa de la unidad de cuerpo y mente, y el rechazo a cualquier explicación no materialista de la conducta humana.

Pero vamos con la música y veremos ejemplos de las contribuciones de Helmholtz. En el artículo anterior sobre música y matemáticas dijimos que aunque pueda resultar misterioso que el cerebro humano haya llegado a ser capaz de detectar con tanta precisión unos parámetros tan redondos como los que subyacen a la tonalidad y la armonía musical, la realidad es que esta forma de percibir y relacionar las notas es la única posible, o al menos la más lógica, ya que viene determinada por la naturaleza física y matemática del sonido. Es decir, que el ser humano percibe determinados sonidos como armónicos porque de hecho las ondas que los producen son física y matemáticamente armónicas, y percibe como disonantes otros sonidos porque las estructuras de las ondas que los producen son matemáticamente incompatibles. Sin embargo es cierto que la capacidad para detectar tales compatibilidades e incompatibilidades físicas y matemáticas ha sido aprovechada con bastante “ingenio” por la evolución para permitirnos percibir el mundo a nuestro alrededor, y de carambola (como todo en la evolución), para dar soporte biológico a la música.

Los nodos de una cuerda que vibra son armónicos 

clic en las fotos para ampliar). Fuente   

La raíz de todo esto se encuentra en el concepto de serie armónica musical, que está directamente relacionado con el de serie armónica matemática. Por ejemplificar ambos conceptos de forma breve y clara: cuando hacemos sonar un objeto, por ejemplo la cuerda de un violín, se genera una vibración principal con una longitud de onda (o frecuencia) determinada que es la de la nota que de hecho identificamos; pero junto a esta vibración principal también se genera una serie sucesiva de ondas de mayor frecuencia y menor intensidad que no percibimos como sonidos separados de esa nota principal, aunque sí le dan un "matiz particular". La mayoría de los sonidos que oímos en la naturaleza son complejos, porque no consisten en una única onda, sino en una serie sucesiva de ondas de frecuencias e intensidades variables. La primera vibración que se produce es lo que en lenguaje musical se llama la fundamental. Las vibraciones secundarias son los sobretonos. Estos sobretonos pueden ser armónicos con la fundamental o inarmónicos. En el caso de los armónicos, su longitud de onda es una fracción exacta de la longitud de la primera vibración. Estos se producen en forma de una secuencia de vibraciones que van aumentando en frecuencia (tono) y disminuyendo en intensidad (volumen). Como se ve en el dibujo, las longitudes de onda de los sobretonos siempre son el resultado de dividir la fundamental por un número entero simple cada vez mayor (por 2, por 3, por 4, etc); por eso la serie tiene las proporciones de 2:1, 3:1, 4:1, 5:1, 6:1, 7:1, y así, teóricamente se perciben hasta 16 parciales armónicos, siendo el primero de ellos la fundamental y el resto sobretonos con una frecuencia proporcional a la de éste (en realidad se pueden generar más, pero no son significativos). El punto donde la onda cruza el eje de simetría que vemos en el dibujo de arriba se llama nodo. Lo importante es que todos los sonidos secundarios son armónicos con el primero porque si superponemos sus ondas éstas acaban antes o después cruzándose con la fundamental justo a la altura del eje, es decir, en el nodo. Por eso mismo en términos matemáticos la frecuencia de todas ellas es múltiplo de la fundamental.

Para que veáis hasta qué punto el dibujo realmente representa la vibración de una cuerda, podéis echarle un vistazo al siguiente vídeo en el que un grupo poco conocido (Rooftop Studio) interpreta una versión de Spirit of the Great Hearth del sudafricano, Johnny Clegg que, si se me permite, casi me gusta más que la original. Como veréis, la gente no deja de encontrarle nuevos usos a los smartphones.

Aunque las ondas de una cuerda son de naturaleza transversal (agitan la cuerda como un látigo) mientras que las del sonido son longitudinales (comprimen y estiran el aire como un colchon de gomaespuma), los principios matemáticos que determinan su propagación son exactamente los mismos, por lo que la armonía vibratoria que se da en las cuerdas también se da cuando la vibración se transmite al aire en forma de sonido.

Las series armónicas son importantes en acústica y en música, porque determinan el timbre de los instrumentos y de las voces humanas. El timbre es ese "matiz particular" de las notas que hemos mencionado arriba, es decir, es lo que nos permite distinguir entre la voz de dos personas o el sonido de dos instrumentos aunque ambos estén entonando la misma nota. La cantidad de armónicos que se generan, y su intensidad y duración varían de una voz a otra dependiendo de la estructura de las cuerdas vocales, de la forma de la cavidad bucal y de otros factores anatómicos, y en el caso de los instrumentos, de la forma y el material con que están fabricados. Existen instrumentos que generan más armónicos que otros, o instrumentos en los que destacan más unas frecuencias que otras. Por ejemplo en el caso del clarinete, los armónicos impares (3º, 5º, 7º, etc.) son más fuertes. En cambio el diapasón que se utiliza para afinar los instrumentos o para comprobar la capacidad auditiva de una persona tiene un sonido puro, es decir, que apenas genera armónicos; precisamente por eso se usa para dar la nota la de 440 hercios con la que hoy día todos los miembros de una orquesta afinan sus instrumentos.

Si queremos describir parametricamente un sonido complejo, no tendremos más remedio que analizarlo separando sus componentes. Por eso cada una de las ondas que lo producen (incluyendo la fundamental) se llaman parciales. La primera descripción científica de las series armónicas musicales la hizo Herman Helmholtz tomando como punto de partida las investigaciones previas del holandés Franz Donders. Helmholz fue capaz de aislar cada uno de los armónicos por separado utilizando los resonadores que llevan su nombre, demostrando que lo que percibimos como un sonido único en realidad es una amalgama compleja de sonidos parciales.  Para que se entienda esta afirmación podemos recurrir a la comparación con la teoría de los colores: todos hemos aprendido en el colegio que la luz blanca en realidad es el resultado de la mezcla de luces de los colores elementales (azul, verde y rojo). Si enfocamos en un mismo punto tres haces de esos colores, la mezcla resultante será luz blanca. A la inversa, mediante un prisma podemos descomponer la luz blanca en los colores elementales que la componen. Pues bien, los resonadores de Helmholz son al sonido lo que el prisma es a la luz. El fundamento matemático de este proceso es el análisis de Fourier, que escapa a nuestro tema de hoy, pero vale la pena mencionar por algo que comentaré más abajo. Quedémonos con que Helmholtz analizaba los sonidos complejos descomponiéndolos en sonidos más simples.

Resonador de Helmholtz. Fuente

El resonador de Helmholtz es un recipiente en forma de ampolla o tambor hecho de cristal o metal, con una abertura a cada lado, una de las cuales se introduce en el oído, mientras que la otra se orienta en la dirección del sonido que se desea analizar. Seguro que os estaréis preguntando cómo suena un cacharro de esos. En realidad todos hemos oído algo parecido cuando hemos soplado dentro de una botella para producir una nota musical. De hecho se puede decir que una botella es prácticamente lo mismo que un resonador de Helmholz: actúa como un filtro que amplifica un único sonido de una frecuencia determinada, que es la nota que se acaba oyendo. Ya hemos dicho más arriba que el comportamiento del aire cuando transmite ondas de sonido es comparable al de la gomaespuma. Los gases, y en concreto el aire, son elásticos, lo que quiere decir que si se les somete a una presión dentro de un espacio cerrado ejercen una fuerza que hace que tiendan a volver a ocupar el espacio original. Lo que hace rebotar a una pelota de baloncesto no es la elasticidad del material con el que está fabricada, sino la del aire que está encerrado en su interior. Es el aire lo que rebota. Si rellenamos la misma pelota con un material poco elástico, como el agua o la plastilina, apenas botará. En función de su diámetro, un resonador de Helmholtz favorecerá la resonancia exclusivamente de determinada frecuencia. Quiere esto decir que si yo hago sonar una nota cualquiera con un instrumento y uno de los sobretonos derivados de esa nota coincide con la frecuencia natural del resonador, éste se oirá amplificado, aislado del resto de sobretonos que se deriven de esa nota. Utilizando resonadores de diferentes tamaños, Helmholtz pudo identificar los diferentes parciales de los que estaba compuesto un sonido complejo, constatando que las diferencias en el timbre de los instrumentos eran debidas principalmente a las series de armónicos que generaban.

Pero ¿realmente este descubrimiento sirve para algo? Desde luego que sí. Aparte de la constatación de la naturaleza del sonido, que posteriormente serviría al investigador para desentrañar el mecanismo de funcionamiento de nuestro oído, sirvió como punto de partida para la investigación sobre el comportamiento de las ondas electromagnéticas, y también permitió los primeros pasos en la tecnología de generación artificial de sonidos. De hecho, para demostrar la validez de su teoría, Helmholtz inventó una máquina que realizaba el proceso inverso al que había logrado con los resonadores: en lugar de separar sonidos, los combinaba creando nuevos sonidos complejos. De esta forma inventó el primer sintetizador electrónico de la historia, con el que a partir de sonidos simples producidos de forma independiente generó sonidos complejos similares a los que se producen de forma natural con instrumentos o con la voz humana. 

Sintetizador de Helmholz con diapasones y resonadores
para diferentes frecuencias. Abajo puede verse el teclado
con el que se activaban los diapasones.

El sintetizador de Helmholtz era realmente ingenioso. Consistía en dos hileras de diapasones afinados en una serie progresiva de tonos. Delante de cada diapasón había un resonador en forma de tambor (en este caso con solo una abertura, ya que su finalidad era amplificar un sonido que debía mezclarse con el de los demás diapasones) la abertura del resonador era regulable para darle a cada sonido la intensidad que debía corresponderle. Para lograr que cada diapasón vibrara de forma constante, Helmoltz colocó a ambos lados de las horquillas dos bobinas que generaban, mediante electromagnetismo, un efecto vibratorio comparable al de los timbres de "chicharra" (aunque el sonido no fuera estridente como en los timbres).

Detalle del sintetizador de Helmholtz. Fuente

Mediante su sintetizador, Helmholtz podía imitar el sonido de instrumentos y voces haciendo que vibrase cada uno de los diapasones que se correspondía con los parciales del sonido que pretendía imitar. Por ello se puede decir que Herman Helmholz es el tatarabuelo de la música electrónica. De hecho, el nombre de sintetizador se lo dio él mismo porque la finalidad de este aparato era realizar una síntesis de Fourier de  una serie de sonidos simples en otro complejo, es decir, lo contrario de lo que hacía con los resonadores, empleados para realizar el análisis de Fourier.

Quisiera llamar la atención sobre un hecho: Los instrumentos musicales diseñados por el hombre producen sonidos en su mayor parte muy raros o imposibles de oír en la naturaleza; se puede decir que su sonido, por artificial, es esencialmente humano, ya que son el resultado de un procesamiento tecnológico complejo. Helmholtz construyó su sintetizador no con la intención de crear sonidos nuevos, sino con la de imitar estos sonidos y los sonidos de la naturaleza (vocales, por ejemplo) para demostrar sus teorías; sin embargo al elaborar un aparato basado completamente en abstracciones teóricas y con un control total de los parámetros básicos del sonido (tono, timbre e intensidad) Helmholtz estaba abriendo por primera vez la puerta a la posibilidad de producir cualquier sonido imaginable o no imaginable por el ser humano. Se puede suponer la euforia y sensación de soberbia tecnológica que debía producir el ser consciente de este paso, que se estaba dando de forma simultánea a otros grandes avances tecnológicos y científicos de finales del XIX. 

Teclas armónicas con el do central junto a la representación de
la proporción que sus frecuencias guardan con la de éste. Fuente

Como hemos visto, igual que hay armonía entre las ondas secundarias de una nota, también la hay entre notas ejecutadas de manera independiente con un mismo instrumento o con instrumentos diferentes. Cuando hacemos sonar a la vez, por ejemplo, dos o más teclas de un piano (lo que se llama un acorde) el que esas combinaciones de notas le suenen agradables o no a un oído "inocente"¹ (es decir, que sean consonantes o disonantes) también dependerá de que las longitudes de onda de los sonidos más agudos sean una proporción exacta de la longitud de la onda más larga, que será la que tenga el sonido más grave. En la ilustración vemos cómo determinados intervalos consonantes del piano coinciden en frecuencia con los parciales que se generan al tocar la tecla correspondiente al do central. Haciendo un cálculo matemático sencillo también se puede comprobar la relación matemática que hay entre la frecuencia en hercios que aparece a la izquierda de los parciales y la del do central (en inglés middle C).

Sin embargo, y aunque hasta ahora hemos estado hablando de sonidos compuestos, en realidad lo que nos llega al oído no es una maraña de ondas uniformes independientes superpuestas, sino un único flujo resultante de la interacción (interferencia) de cada una de las ondas de origen independiente con el resto de las ondas con las que se encuentran en su trayectoria, ya procedan del mismo instrumento, de instrumentos diferentes, o de voces y ruidos del entorno. Todas esas ondas se suman o sustraen a cada momento para producir un único flujo de frecuencia e intensidad variables, que es lo que nos llega al oído (se puede comparar gráficamente con el dibujito que aparece cuando reproducimos una canción en Soundcloud). Piénsese que solo tenemos un tímpano en cada oído, y éste no vibra una vez por cada onda producida en un instrumento, sino una única vez por la suma o resta de todas las que lo alcanzan en el mismo momento. Lo prodigioso es cómo nuestro oído y nuestro cerebro posteriormente son capaces de analizar ese flujo único para volver a extraer de él y diferenciar objetos sonoros independientes.

Popularmente, existe una concepción negativa de la interferencia como aquello que impide que un sonido (o cualquier otro tipo de ondas) llegue a su destino adecuadamente. En realidad sería más correcto entender la interferencia como una mera interacción entre dos o más ondas que viajan en el espacio con direcciones, frecuencias e intensidades variables. El resultado de las interferencias a veces puede no ser negativo. Por ejemplo, cuando utilizamos dos altavoces para reproducir la misma melodía, las ondas que estos emiten interfieren, pero el resultado suele ser sumatorio, es decir, que como resultado de la interferencia el sonido simplemente se oye más fuerte, porque las ondas emitidas por ambos altavoces se suman aumentando la intensidad. Por eso se dice que la interferencia de las ondas a veces puede ser constructiva y a veces destructiva.

Tanto si hay consonancia como si hay disonancia, si dos ondas suenan a la vez habrá interferencia entre ellas; pero vamos a explicar por qué al oído "inocente" no le suenan mal las interferencias de ondas matemáticamente armónicas mientras que sí lo hacen las de aquellas que no lo son. Hemos explicado más arriba que en el caso de los armónicos, si superponemos las ondas, éstas se acaban cruzando exactamente a la altura de los nodos con una frecuencia muy regular (cada 2 ondulaciones, cada 3, cada 4, etc.). En cambio si los sonidos no son armónicos el corte de ambas ondas se producirá en otro punto por encima o por debajo del eje de desplazamiento. Es posible que en algún momento se acaben cruzando en los nodos, pero la frecuencia y la regularidad de este cruce será mucho menor, es decir, el perfil de la onda resultante de combinar ambos parciales será más caótico, y por tanto más cercano a lo que consideramos ruido. Curiosamente, como ya habíamos comentado en el artículo anterior acerca de los intervalos, la mayor inarmonía se produce precisamente cuando se superponen dos ondas que tienen frecuencias muy próximas, pero no la misma. Cuando hacemos sonar simultaneamente dos ondas cuyas frecuencias varían en muy pocos hercios se producirá lo que en acústica se llama un batido o batimiento (en inglés beat). En este caso se genera un patrón alterno de máxima y mínima intensidad. Lo que oiremos será un ciclo de batidos en los que tendremos la sensación de que la intensidad del sonido crece y se apaga rítmicamente. En la siguiente grabación podemos oír la resultante de superponer el la 440 Hz con otro sonido de solo un hercio menos (439 Hz).

Y aquí podéis oír cómo se parte de dos notas separadas por un intervalo de un semitono y se va elevando progresivamente la frecuencia del más bajo hasta que ambas suenan al unísono. Podréis oír cómo el batido se hace cada vez más frecuente hasta que desaparece cuando ambos sonidos se sitúan exactamente a la misma frecuencia.

El batido es el sonido típico de un piano desafinado. Gráficamente, también puede verse muy claro cómo la suma de ambos parciales con una mínima diferencia de amplitud genera grandes variaciones en la resultante. En el dibujo de abajo, la longitud de ambas ondas es ligeramente diferente. Eso basta para que cada diez ciclos coincidan el pico de la onda superior con el de la inferior, duplicándose la intensidad. Tras otros diez ciclos, al coincidir el pico de la una con el valle de la otra, ambas se anulan completamente hasta el silencio.

Arriba, ondas parciales, abajo, en azul, la resultante de su interacción. Fuente 

Y por último, por si a alguien le queda curiosidad por la mecánica de las interferencias, le puede venir bien esta página web donde se explican gráficamente diferentes tipos de interferencia mediante animaciones de Java en las que pueden manipularse los parámetros para comprobar los efectos de la variación en amplitud, intensidad y fase (recomiendo probar diferentes opciones de la pestaña "sinusoids").

Probablemente Helmholtz habría alucinado con cualquier juguetito electrónico de los que hoy se utilizan para editar sonido en un PC casero, pero lo cierto es que los principios que subyacen a esos programas o aparatos son los mismos que Helmholtz enunció en su obra Sobre las sensaciones de tono como una base fisiológica para la teoría de la música (aquí en inglés), que siguió siendo el libro de referencia sobre fisiología del oído y acústica hasta bien entrado el siglo XX.

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(1) Tengo que insistir, aunque esta cuestión la trataré en un post específico, en que el gusto musical puede variar con la educación. Cuando hablo de un oído inocente me refiero a personas a las que no se ha educado para que flexibilicen sus preferencias acústicas. A cualquier niño le gusta el sabor dulce, mientras que a casi ninguno le gusta el de la cerveza o el tabaco, aunque les puede acabar gustando con el tiempo.

¿qué es la música? II - música y matemáticas (I)

¿Qué hay de matemáticas en la música? Todo. La Matemática es la base de la música, y no es posible sentir y entender una obra musical si no se tienen las capacidades computacionales innatas y relativamente inconscientes que nos permiten a los humanos disfrutar de ella.

Monocordio - Robert Fludd, Utrisque Cosmin. Fuente

Antes de nada aclaro que en este post vamos a hablar de la música como un fenómeno estrictamente psicológico. La música solo existe en tanto que puede atravesar la mente de una persona, y siendo aún más estrictos, solo existe cuando atraviesa la mente de una persona. Desde que sale de un instrumento o una garganta hasta que llega al oído la música no es música, sino meras ondas mecánicas que viajan por el aire. Por supuesto, lo mismo sucede con la música que duerme en un vinilo, un disco duro o una partitura. Es el ser humano el que decide si un sonido es o no es musical otorgándole un significado y una capacidad de evocar imágenes y sentimientos que otros seres no pueden otorgarle por más que sean capaces de oír el mismo sonido. No existe la música si no hay un ser humano (u otro ser con inteligencia musical) que dote a ese sonido de sentido, tanto al generarlo como al escucharlo. La música no es anterior al hombre, y después del hombre deja de existir.

Dicho esto, también tengo que aclarar que en este artículo no voy a referirme ni a las propiedades matemáticas del sonido ni a las posibilidades de aplicar las matemáticas al análisis de la música o a las técnicas instrumentales o de notación. Evidentemente en este mundo todo es cuantificable y a todo se le pueden aplicar fórmulas, pero cuando hablo de las matemáticas en la música lo hago estrictamente en el sentido en que lo hace la cita Leibniz que da título a este blog según la cual la música es una forma de contar sin darse cuenta, es decir, que la mente humana lleva a cabo una serie de operaciones aritméticas (quizá geométricas) de forma intuitiva, pero sorprendentemente precisa.

Por el momento nos centraremos en la armonía. En otros posts más adelante hablaremos del ritmo, y si da para más, posteriormente seguiremos complicando la cosa.

Aunque no venga muy a cuento

Cuando escucha o produce música, el ser humano percibe cuatro elementos básicos en los que se dan variaciones y regularidades: la altura o tono (es decir, la frecuencia vibratoria de la onda de sonido), la intensidad o volumen, el ritmo, y el timbre o calidad del sonido. El timbre es lo que permite diferenciar dos instrumentos, por ejemplo un violín y una trompeta, aunque ambos estén haciendo sonar la misma nota. Estrictamente, el timbre no es un elemento independiente, sino que es la suma de una serie de ondas secundarias, llamadas armónicos, que acompañan a la frecuencia fundamental (la nota que se hace sonar), y que vienen determinadas por la estructura y el material de que está hecho el instrumento (en el caso de la voz, por la forma de las cuerdas vocales y el aparato fonador).

Tito M. Tonietti, profesor del departamento de Matemáticas de la Universidad de Pisa, va más allá de relacionar simplemente música y matemáticas, ya que en su artículo ¿Es la música relevante para la historia de la Ciencia? sostiene que la música fue el modelo matemático original para las ciencias de la naturaleza en occidente.

La primera constatación de la relación entre las matemáticas y la música se atribuye Pitágoras, que vivió en el siglo V antes de Cristo, y a la llamada escuela pitagórica. Los pitagóricos observaron que la altura de una nota tocada con una cuerda era (a igual tensión y grosor de la cuerda) inversamente proporcional a la longitud de ésta. Tonietti considera que éste es nada menos que el primer postulado científico de la historia de la humanidad.

Los pitagóricos prestaron especial atención a la armonía, es decir, al hecho de que determinadas notas tuvieran un sonido “agradable” cuando se tocaban de forma simultánea. Pongo entre comillas “agradable” porque la sensación que produzca un sonido depende en gran parte de la educación musical del oyente y de la relación del sonido con el contexto de la pieza en la que aparece; pero sí es cierto que en cualquier parte del mundo se tiende a considerar que determinados sonidos combinan mejor que otros, o usando el término musical, que son consonantes. En cambio cuando dos sonidos simultáneos suenan mal se dice que son disonantes.

Theorica Musicae, F. Gaffurio, Nápoles, 1492

Existe una leyenda según la cuál Pitágoras descubrió la armonía entre los sonidos haciendo sonar simultáneamente martillos de tamaños y pesos diferentes contra un yunque. El principal descubrimiento fue que la relación entre el peso de dos martillos que sonaban de forma agradable al golpearlos simultáneamente respondía a proporciones elementales exactas (las detallaremos un poco más abajo). También observó que esta relación de proporciones se daba igualmente cuando lo que se hacía era pulsar cuerdas, soplar tubos de diferentes longitudes (como en la siringa o flauta de Pan), golpear campanas de diferentes tamaños o recipientes llenos con diferentes cantidades de agua. Esto le hizo pensar que los sonidos musicales eran la expresión de una armonía universal oculta. La matemática y la música eran la forma más directa de acceder a esa armonía y poder contemplarla tal cual es. Si conseguían determinar con exactitud cuáles eran los sonidos que mejor combinaban cuando se tocaban de forma simultánea (armonía) o sucesiva (melodía) podrían componer piezas musicales perfectas. La perfección para Pitágoras no tenía un sentido meramente estético, sino metafísico: componer una pieza perfecta era una experiencia mística en sentido literal, era dar con el sonido que hacen los planetas al desplazarse por el firmamento.

Para sus experimentos sonoros y demostraciones, los pitagóricos utilizaban un instrumento muy simple, de una sola cuerda, que se llamaba monocordio, tatarabuelo del violín o de la guitarra, y que siguió utilizándose con cierta regularidad hasta el Renacimiento. El monocordio tenía un puente móvil que permitía alargar o acortar la longitud de la cuerda antes de pulsarla.

Este parece un trabajo manual para el día del padre, pero da una idea. Fuente

 Pero para poder comparar la armonía de los sonidos evidentemente era necesario pulsar al menos dos cuerdas a la vez, por eso se supone que Pitágoras usó un monocordio que en realidad no era mono, porque tenía varias cuerdas dispuestas paralelamente.

Interpretando una versión primitiva de Smoke In The Water

 Para los pitagóricos lo más interesante de la armonía desde el punto de vista matemático era que la mayor consonancia se producía cuando la longitud de la segunda cuerda era exactamente igual a una fracción simple de la primera (½, ⅔ y ¾) independientemente de la longitud absoluta que tuviera la cuerda.

Cuando la proporción era de ½, es decir, de 2:1, la consonancia era total. Tanto que si ambos sonidos eran simultáneos se podían considerar el mismo. Si tienes a mano un teclado puedes comprobarlo tocando cualquier tecla blanca a la vez que tocas aquella que está ocho teclas más arriba o abajo (contando ambas). Este intervalo es lo que en el lenguaje musical se llama la octava (Pitágoras lo llamaba diapasón).

Consonancia en octava. Fuente

 Lo más sorprendente es que en términos de frecuencia de onda, la octava de cualquier nota tiene justo el doble de frecuencia en hercios que ésta; por ejemplo, si la nota la por encima del do central del piano tiene una frecuencia de 440 Hz, el siguiente la tendrá exactamente 880 Hz. Digo que es sorprendente porque este cálculo en hercios lo hacemos de forma inconsciente y sin ningún esfuerzo. Diferentes culturas han dividido la octava en diferente número de notas. Los occidentales la hemos terminado dividiendo en ocho, pero no siempre es así; sin embargo en todas las culturas la octava se ha considerado el intervalo básico.

El segundo par de sonidos más consonante que observaron los pitagóricos, aunque la consonancia era menor, se daba cuando la segunda cuerda medía exactamente ⅔ de la primera. Esto es lo que en lenguaje musical se llama la quinta justa, por encontrarse en la escala musical a una distancia de cinco notas. Si la primera del intervalo es do, la quinta justa sería la que en un piano está cinco teclas más allá, es decir, la nota sol: do, [re, mi, fa], sol; si la primera es re, la quinta justa será la.

Quinta justa. Fuente

La siguiente proporción es de 4:3, que en lenguaje musical se llama cuarta justa, un intervalo de cuatro notas. Si la primera es do, la cuarta justa sería fa.

Cuarta justa. Fuente

 Curiosamente Pitágoras no siguió adelante experimentando con proporciones, y sorprende que fuera Ptolomeo, el que formuló siete siglos más tarde la existencia de la tercera mayor, considerado el tercer acorde más consonante después de la octava y la quinta justa. Siguiendo con la lógica anterior, podrá imaginarse que las proporciones de este intervalo son 5:4, es decir, que la parte que se hace sonar de la cuerda mide cuatro quintas partes del total. En realidad Pitágoras estaba demasiado fascinado con la sencillez de los primeros cuatro números como para aceptar de buena gana la intrusión del número 5, que suponía un elemento matemáticamente discordante.

El Mundo como un monocordio. La Tierra se encuentra en el centro del Universo. Las esferas giran a su alrededor produciendo un sonido en función del intervalo con respecto a ésta

Existe un último intervalo que resulta interesante por lo contrario que los anteriores, ya que cuando ambas notas se tocan a la vez, en lugar de sonar bien suenan fatal, es decir, se trata del intervalo más asonante de todos. Se trata de la segunda mayor¹. Pitágoras lo dedujo cuando quiso crear una escala completa para dividir la octava en unidades regulares. La segunda mayor mide la distancia entre la cuarta justa y la quinta justa, y la fracción que le corresponde es de 9/8, es decir una proporción de 8:9. La segunda mayor mide un tono. Lo interesante de este intervalo es precisamente que el oído humano también es capaz de calcular o detectar intuitivamente esa proporción, aunque en este caso lo que permite hacerlo es la sensación de que algo suena mal, o si se trata de sonidos sucesivos, la sensación de que hay algo suspendido, inconcluso, que espera ser resuelto.

 Pitágoras lo habría flipado

Debo insistir en que esta clasificación obedece a los parámetros estéticos de unas personas que vivieron en Europa hace 2.500 años. Pero también coincide con el gusto generalizado en la música popular, y desde luego es lo primero que se enseña a los niños en una escuela de música cuando empizan a estudiar. La evolución de la música ha ido acostumbrando el oído a considerar consonantes cada vez más intervalos, y también se ha recurrido de forma sistemática a intervalos más disonantes para crear tensión. Algunas personas rechazan completamente que de entrada se pueda considerar ningún sonido como más consonante que otro, y afirman que se trata de un prejuicio que limita enormemente la expresión musical. De esto hablaremos en su momento.

Por hoy lo vamos a dejar aquí para no alargarnos demasiado. Más adelante hablaremos del porqué de esta capacidad intuitiva para adivinar la longitud de una cuerda o la cantidad de agua en una copa recurriendo solo a cómo nos suena al pulsarla. Para los no iniciados, aquí hay un vídeo clarísimo (en inglés) donde se explican los intervalos más elementales.

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¹ En realidad el intervalo más asonante no es la segunda mayor, sino la segunda menor, que está más cerca aún de la nota anterior, ya que la separación no es de un tono, sino de un semitono. En el teclado de un piano este intervalo es el que hay entre una tecla y la inmediatamente contigua, incluyendo las negras. Si la primera tecla del intervalo es do, la siguiente sería el do bemol, que es la primera de las tres negras agrupadas. En el próximo post explicaré el porqué de esta asonancia.