¿qué es la música? II - música y matemáticas (I)

¿Qué hay de matemáticas en la música? Todo. La Matemática es la base de la música, y no es posible sentir y entender una obra musical si no se tienen las capacidades computacionales innatas y relativamente inconscientes que nos permiten a los humanos disfrutar de ella.

Monocordio - Robert Fludd, Utrisque Cosmin. Fuente

Antes de nada aclaro que en este post vamos a hablar de la música como un fenómeno estrictamente psicológico. La música solo existe en tanto que puede atravesar la mente de una persona, y siendo aún más estrictos, solo existe cuando atraviesa la mente de una persona. Desde que sale de un instrumento o una garganta hasta que llega al oído la música no es música, sino meras ondas mecánicas que viajan por el aire. Por supuesto, lo mismo sucede con la música que duerme en un vinilo, un disco duro o una partitura. Es el ser humano el que decide si un sonido es o no es musical otorgándole un significado y una capacidad de evocar imágenes y sentimientos que otros seres no pueden otorgarle por más que sean capaces de oír el mismo sonido. No existe la música si no hay un ser humano (u otro ser con inteligencia musical) que dote a ese sonido de sentido, tanto al generarlo como al escucharlo. La música no es anterior al hombre, y después del hombre deja de existir.

Dicho esto, también tengo que aclarar que en este artículo no voy a referirme ni a las propiedades matemáticas del sonido ni a las posibilidades de aplicar las matemáticas al análisis de la música o a las técnicas instrumentales o de notación. Evidentemente en este mundo todo es cuantificable y a todo se le pueden aplicar fórmulas, pero cuando hablo de las matemáticas en la música lo hago estrictamente en el sentido en que lo hace la cita Leibniz que da título a este blog según la cual la música es una forma de contar sin darse cuenta, es decir, que la mente humana lleva a cabo una serie de operaciones aritméticas (quizá geométricas) de forma intuitiva, pero sorprendentemente precisa.

Por el momento nos centraremos en la armonía. En otros posts más adelante hablaremos del ritmo, y si da para más, posteriormente seguiremos complicando la cosa.

Aunque no venga muy a cuento

Cuando escucha o produce música, el ser humano percibe cuatro elementos básicos en los que se dan variaciones y regularidades: la altura o tono (es decir, la frecuencia vibratoria de la onda de sonido), la intensidad o volumen, el ritmo, y el timbre o calidad del sonido. El timbre es lo que permite diferenciar dos instrumentos, por ejemplo un violín y una trompeta, aunque ambos estén haciendo sonar la misma nota. Estrictamente, el timbre no es un elemento independiente, sino que es la suma de una serie de ondas secundarias, llamadas armónicos, que acompañan a la frecuencia fundamental (la nota que se hace sonar), y que vienen determinadas por la estructura y el material de que está hecho el instrumento (en el caso de la voz, por la forma de las cuerdas vocales y el aparato fonador).

Tito M. Tonietti, profesor del departamento de Matemáticas de la Universidad de Pisa, va más allá de relacionar simplemente música y matemáticas, ya que en su artículo ¿Es la música relevante para la historia de la Ciencia? sostiene que la música fue el modelo matemático original para las ciencias de la naturaleza en occidente.

La primera constatación de la relación entre las matemáticas y la música se atribuye Pitágoras, que vivió en el siglo V antes de Cristo, y a la llamada escuela pitagórica. Los pitagóricos observaron que la altura de una nota tocada con una cuerda era (a igual tensión y grosor de la cuerda) inversamente proporcional a la longitud de ésta. Tonietti considera que éste es nada menos que el primer postulado científico de la historia de la humanidad.

Los pitagóricos prestaron especial atención a la armonía, es decir, al hecho de que determinadas notas tuvieran un sonido “agradable” cuando se tocaban de forma simultánea. Pongo entre comillas “agradable” porque la sensación que produzca un sonido depende en gran parte de la educación musical del oyente y de la relación del sonido con el contexto de la pieza en la que aparece; pero sí es cierto que en cualquier parte del mundo se tiende a considerar que determinados sonidos combinan mejor que otros, o usando el término musical, que son consonantes. En cambio cuando dos sonidos simultáneos suenan mal se dice que son disonantes.

Theorica Musicae, F. Gaffurio, Nápoles, 1492

Existe una leyenda según la cuál Pitágoras descubrió la armonía entre los sonidos haciendo sonar simultáneamente martillos de tamaños y pesos diferentes contra un yunque. El principal descubrimiento fue que la relación entre el peso de dos martillos que sonaban de forma agradable al golpearlos simultáneamente respondía a proporciones elementales exactas (las detallaremos un poco más abajo). También observó que esta relación de proporciones se daba igualmente cuando lo que se hacía era pulsar cuerdas, soplar tubos de diferentes longitudes (como en la siringa o flauta de Pan), golpear campanas de diferentes tamaños o recipientes llenos con diferentes cantidades de agua. Esto le hizo pensar que los sonidos musicales eran la expresión de una armonía universal oculta. La matemática y la música eran la forma más directa de acceder a esa armonía y poder contemplarla tal cual es. Si conseguían determinar con exactitud cuáles eran los sonidos que mejor combinaban cuando se tocaban de forma simultánea (armonía) o sucesiva (melodía) podrían componer piezas musicales perfectas. La perfección para Pitágoras no tenía un sentido meramente estético, sino metafísico: componer una pieza perfecta era una experiencia mística en sentido literal, era dar con el sonido que hacen los planetas al desplazarse por el firmamento.

Para sus experimentos sonoros y demostraciones, los pitagóricos utilizaban un instrumento muy simple, de una sola cuerda, que se llamaba monocordio, tatarabuelo del violín o de la guitarra, y que siguió utilizándose con cierta regularidad hasta el Renacimiento. El monocordio tenía un puente móvil que permitía alargar o acortar la longitud de la cuerda antes de pulsarla.

Este parece un trabajo manual para el día del padre, pero da una idea. Fuente

 Pero para poder comparar la armonía de los sonidos evidentemente era necesario pulsar al menos dos cuerdas a la vez, por eso se supone que Pitágoras usó un monocordio que en realidad no era mono, porque tenía varias cuerdas dispuestas paralelamente.

Interpretando una versión primitiva de Smoke In The Water

 Para los pitagóricos lo más interesante de la armonía desde el punto de vista matemático era que la mayor consonancia se producía cuando la longitud de la segunda cuerda era exactamente igual a una fracción simple de la primera (½, ⅔ y ¾) independientemente de la longitud absoluta que tuviera la cuerda.

Cuando la proporción era de ½, es decir, de 2:1, la consonancia era total. Tanto que si ambos sonidos eran simultáneos se podían considerar el mismo. Si tienes a mano un teclado puedes comprobarlo tocando cualquier tecla blanca a la vez que tocas aquella que está ocho teclas más arriba o abajo (contando ambas). Este intervalo es lo que en el lenguaje musical se llama la octava (Pitágoras lo llamaba diapasón).

Consonancia en octava. Fuente

 Lo más sorprendente es que en términos de frecuencia de onda, la octava de cualquier nota tiene justo el doble de frecuencia en hercios que ésta; por ejemplo, si la nota la por encima del do central del piano tiene una frecuencia de 440 Hz, el siguiente la tendrá exactamente 880 Hz. Digo que es sorprendente porque este cálculo en hercios lo hacemos de forma inconsciente y sin ningún esfuerzo. Diferentes culturas han dividido la octava en diferente número de notas. Los occidentales la hemos terminado dividiendo en ocho, pero no siempre es así; sin embargo en todas las culturas la octava se ha considerado el intervalo básico.

El segundo par de sonidos más consonante que observaron los pitagóricos, aunque la consonancia era menor, se daba cuando la segunda cuerda medía exactamente ⅔ de la primera. Esto es lo que en lenguaje musical se llama la quinta justa, por encontrarse en la escala musical a una distancia de cinco notas. Si la primera del intervalo es do, la quinta justa sería la que en un piano está cinco teclas más allá, es decir, la nota sol: do, [re, mi, fa], sol; si la primera es re, la quinta justa será la.

Quinta justa. Fuente

La siguiente proporción es de 4:3, que en lenguaje musical se llama cuarta justa, un intervalo de cuatro notas. Si la primera es do, la cuarta justa sería fa.

Cuarta justa. Fuente

 Curiosamente Pitágoras no siguió adelante experimentando con proporciones, y sorprende que fuera Ptolomeo, el que formuló siete siglos más tarde la existencia de la tercera mayor, considerado el tercer acorde más consonante después de la octava y la quinta justa. Siguiendo con la lógica anterior, podrá imaginarse que las proporciones de este intervalo son 5:4, es decir, que la parte que se hace sonar de la cuerda mide cuatro quintas partes del total. En realidad Pitágoras estaba demasiado fascinado con la sencillez de los primeros cuatro números como para aceptar de buena gana la intrusión del número 5, que suponía un elemento matemáticamente discordante.

El Mundo como un monocordio. La Tierra se encuentra en el centro del Universo. Las esferas giran a su alrededor produciendo un sonido en función del intervalo con respecto a ésta

Existe un último intervalo que resulta interesante por lo contrario que los anteriores, ya que cuando ambas notas se tocan a la vez, en lugar de sonar bien suenan fatal, es decir, se trata del intervalo más asonante de todos. Se trata de la segunda mayor¹. Pitágoras lo dedujo cuando quiso crear una escala completa para dividir la octava en unidades regulares. La segunda mayor mide la distancia entre la cuarta justa y la quinta justa, y la fracción que le corresponde es de 9/8, es decir una proporción de 8:9. La segunda mayor mide un tono. Lo interesante de este intervalo es precisamente que el oído humano también es capaz de calcular o detectar intuitivamente esa proporción, aunque en este caso lo que permite hacerlo es la sensación de que algo suena mal, o si se trata de sonidos sucesivos, la sensación de que hay algo suspendido, inconcluso, que espera ser resuelto.

 Pitágoras lo habría flipado

Debo insistir en que esta clasificación obedece a los parámetros estéticos de unas personas que vivieron en Europa hace 2.500 años. Pero también coincide con el gusto generalizado en la música popular, y desde luego es lo primero que se enseña a los niños en una escuela de música cuando empizan a estudiar. La evolución de la música ha ido acostumbrando el oído a considerar consonantes cada vez más intervalos, y también se ha recurrido de forma sistemática a intervalos más disonantes para crear tensión. Algunas personas rechazan completamente que de entrada se pueda considerar ningún sonido como más consonante que otro, y afirman que se trata de un prejuicio que limita enormemente la expresión musical. De esto hablaremos en su momento.

Por hoy lo vamos a dejar aquí para no alargarnos demasiado. Más adelante hablaremos del porqué de esta capacidad intuitiva para adivinar la longitud de una cuerda o la cantidad de agua en una copa recurriendo solo a cómo nos suena al pulsarla. Para los no iniciados, aquí hay un vídeo clarísimo (en inglés) donde se explican los intervalos más elementales.

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¹ En realidad el intervalo más asonante no es la segunda mayor, sino la segunda menor, que está más cerca aún de la nota anterior, ya que la separación no es de un tono, sino de un semitono. En el teclado de un piano este intervalo es el que hay entre una tecla y la inmediatamente contigua, incluyendo las negras. Si la primera tecla del intervalo es do, la siguiente sería el do bemol, que es la primera de las tres negras agrupadas. En el próximo post explicaré el porqué de esta asonancia.